Rozwiązanie:

Rozwiązując te nierówności kolejno otrzymujemy:
\( {{1+2x+x^2}\over {1+x^2}}\ge 0\hskip .5cm \)oraz \( \quad {{2x-1-x^2}\over {1+x^2}}\le 0 \),
czyli
\( {{(1+x)^2}\over {1+x^2}}\ge 0\hskip .5cm \)oraz \( \quad {{-(x^2-2x+1)}\over {1+x^2}}\le 0 \),
stąd
\( x\in \mathbb R\hskip .5cm \)oraz \( \quad {{-(x-1)^2\over {1+x^2}}}\le 0 \),
więc
\( x\in\mathbb R \)

Rozwiązanie:

\( 2-x \neq 0 \) czyli \( x \neq 2 \)

oraz

\( -1\le{1\over{2-x}}\le 1 \).

Tę nierówność podwójną możemy rozwiązać klasycznie, sprowadzając do wspólnego mianownika jak w przypadku b. , ale możemy też wykorzystać własność wartości bezwzględnej.

\( \vert{1\over{2-x}}\vert\le 1 \),
\( \vert 2-x\vert\ge 1 \),
\( \vert -(x-2)\vert\ge 1 \),
\( \vert x-2\vert\ge 1 \).

Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej wiemy, że \( \vert x-x_0\vert \) jest równa odległości \( x \) od \( x_0 \) na osi liczbowej. Poszukujemy takich \( x \), których odległość od liczby \( x_0=2 \) jest większa lub równa od jedynki. Przedstawiając tę sytuację na osi liczbowej otrzymujemy rozwiązanie

\( x\in (-\infty,1]\cup [3,+\infty) \).
Uwzględniając warunek \( x \neq 2 \) otrzymujemy odpowiedź.
Odpowiedź